简介
这里完整介绍一些求 A x ⃗ = b ⃗ \bold{A}\vec{x}=\vec{b} A x = b 大学线代第一节课就学这个没用的东西，不会真的有人用吧，不会吧不会吧 ）等等方式去求解。 但是A很大的时候这个方法就失效了，这个时候一般用迭代法，本文以介绍迭代法为主。
这里解的方程组一定要正定，负定的矩阵解起来注定是失稳的。如果是正半定，或者说奇异矩阵（存在为0的特征值），那么解将会在某个子空间里而不唯一。
其实从二次型的视角就很容易看出：
（请注意，本文中的推导仅仅是验证实验用，性能并非最优）
Jacobi 迭代与 Gauss-Seidel
Jacobi 迭代
推导过程：
我们把A矩阵分尸三块：A = D − L − U A = D - L - U A = D − L − U
其中，D是对角线，L是上三角取负，U是下三角取负。
这样，A x = b Ax=b A x = b ( D − L − U ) x = b (D-L-U)x=b ( D − L − U ) x = b
移动一下：D x = ( L + U ) x + b Dx=(L+U)x + b D x = ( L + U ) x + b
由于D是对角矩阵，可无成本求逆：x = D − 1 ( L + U ) x + D − 1 b x=D^{-1}(L+U)x+D^{-1}b x = D − 1 ( L + U ) x + D − 1 b
于是我们利用下列公式迭代更新：
x ( k + 1 ) = D − 1 ( L + U ) x ( k ) + D − 1 b x^{(k+1)} = D^{-1}(L+U)x^{(k)} + D^{-1}b x ( k + 1 ) = D − 1 ( L + U ) x ( k ) + D − 1 b 即可求得解，至于为什么是这样，可看收敛性分析。
%accordion% Numpy实现 %accordion%
复制 def jacobi_iteration(A,b,init_x,iters=10):
dim = init_x.shape[0]
x = init_x
result = np.zeros((iters+1,dim))
result[0,:] = x.reshape(-1)
diag_A = np.diag(A)
D_inv = np.diag(1.0/diag_A)
LU = np.diag(diag_A) - A
B = D_inv @ LU
D_inv_b = D_inv @ b
for i in range(iters):
x = B @ x + D_inv_b
result[i+1,:] = x.reshape(-1)
return result %/accordion%
Gauss-Seidel
Jacobi迭代中，x ( k + 1 ) = D − 1 ( L + U ) x ( k ) + D − 1 b x^{(k+1)} = D^{-1}(L+U)x^{(k)} + D^{-1}b x ( k + 1 ) = D − 1 ( L + U ) x ( k ) + D − 1 b x ( k + 1 ) x^{(k+1)} x ( k + 1 )
更新x 1 ( k + 1 ) x^{(k+1)}_{1} x 1 ( k + 1 ) x 0 ( k + 1 ) x^{(k+1)}_{0} x 0 ( k + 1 ) x 2 ( k + 1 ) x^{(k+1)}_{2} x 2 ( k + 1 ) x 0 ( k + 1 ) x^{(k+1)}_{0} x 0 ( k + 1 ) x 1 ( k + 1 ) x^{(k+1)}_{1} x 1 ( k + 1 )
（然而并没什么卵用，不必Jacobi快多少，还不能并行计算了。。。）
%accordion% Numpy实现 %accordion%
复制 def gauss_seidel_iteration(A,b,init_x,iters=10):
dim = init_x.shape[0]
x = init_x
result = np.zeros((iters+1,dim))
result[0,:] = x.reshape(-1)
diag_A = np.diag(A)
D_inv = np.diag(1.0/diag_A)
LU = np.diag(diag_A) - A
B = D_inv @ LU
D_inv_b = D_inv @ b
for i in range(iters):
for d in range(dim):
x[d] = B[d,:] @ x + D_inv_b[d]
result[i+1,:] = x.reshape(-1)
return result %/accordion%
收敛性分析
如果矩阵A每一行的“除了对角线元素之外，其它元素的和”都要小于对角线元素的话，则这个矩阵一定可以被Jacobi迭代求解（我也不知为何如此，不过应该可以从这个条件推出谱半径小于1）。
还有一个就是B矩阵 （B = D − 1 ( L + U ) B=D^{-1}(L+U) B = D − 1 ( L + U )
而为什么我们关心B的谱半径呢？
我们站在神的视角，已经知道了真实的解x，也就是说x绝对满足： x = B x + D − 1 b x=Bx + D^{-1}b x = B x + D − 1 b e ( k ) = x ( k ) − x e^{(k)} = x^{(k)} - x e ( k ) = x ( k ) − x
每一次迭代的时候，我们看作：e ( k + 1 ) + x = B ( e ( k ) + x ) + D − 1 b e^{(k+1)} + x = B(e^{(k)}+x) + D^{-1}b e ( k + 1 ) + x = B ( e ( k ) + x ) + D − 1 b
所以有：e ( k + 1 ) + x = B x + D − 1 b + B e ( k ) e^{(k+1)} + x = Bx + D^{-1}b + Be^{(k)} e ( k + 1 ) + x = B x + D − 1 b + B e ( k )
我们知道 x = B x + D − 1 b x = Bx + D^{-1}b x = B x + D − 1 b
e ( k + 1 ) = B e ( k ) e^{(k+1)} = Be^{(k)} e ( k + 1 ) = B e ( k )
所以，很直观的看到，只有谱半径小于1，才能保证误差不断减少，即所谓收敛。
梯度下降
梯度下降迭代法的思路是优化 x = a r g m i n z ∥ A z − b ∥ x = argmin_z \| Az - b \| x = a r g mi n z ∥ A z − b ∥
所以Loss Function就是 L = x T A x − b T x L = x^TAx - b^Tx L = x T A x − b T x
∂ L ∂ x = A x − b \frac{\partial{L}}{\partial{x}}=Ax-b ∂ x ∂ L = A x − b 梯度方向有了，下面就是学习率了，和机器学习任务不一样，这里的学习率是可以有最优解的， 原理大概是如果沿着梯度方向前后走，并且记录路径上L的大小，那么我们会得到一个抛物线，抛物线是有极小值的啊！！！！
∂ ∂ α ( f ( α ) T A f ( α ) − b T f ( α ) ) = 0 \frac{\partial}{\partial{\alpha}} (f(\alpha)^TAf(\alpha)-b^Tf(\alpha)) = 0 ∂ α ∂ ( f ( α ) T A f ( α ) − b T f ( α )) = 0 其中 f ( α ) = x − α ( A x − b ) f(\alpha) = x - \alpha (Ax-b) f ( α ) = x − α ( A x − b )
或者说，走到新的点以后，其梯度应该和当前的梯度正交，这两种表述是等价的：
最优解是：
α = x T x x T A x \alpha = \frac{x^Tx}{x^TAx} α = x T A x x T x 过程太难打暂略。
根据这个性质，梯度下降的算法将会以互相垂直的折线路径快速逼近最优解。
%accordion% Numpy实现 %accordion%
复制 def gradient_desc(A,b,init_x,iters=10):
dim = init_x.shape[0]
x = init_x
result = np.zeros((iters+1,dim))
result[0,:] = x.reshape(-1)
for i in range(iters):
ax = A @ x
grad = ax - b
flat_x = x.reshape(-1)
lr = np.dot(flat_x,flat_x)/np.dot(ax.reshape(-1),flat_x)
x -= grad * lr
result[i+1,:] = x.reshape(-1)
return result %/accordion%
共轭梯度法
这个方法的思路是，不走回头路，如果我每一次新的搜索空间都和之前的所有搜索空间正交，那么可以更加高效。
但是求出一个正交的子空间（比如用施密特正交）复杂度他娘的是 O ( n 3 ) O(n^3) O ( n 3 )
Warm Start
在解微分方程（组）的时候，由于上一个时间片的状态和这个时间片的状态相差并不多，所以可以用上一个时间片的状态作为这个时间片的初始值输入，这样可以大大增加求解的效率。
MultiGrid
References
测试代码
%accordion% 测试框架 %accordion%
复制 import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
def solver_visualizer(A:np.ndarray,b:np.ndarray,x:np.ndarray,steps:int=100):
"""
A: 2x2 matrix
b: 2x1 vector
x: nx2 vectors
"""
ax_min = x[:,0].min()
ax_max = x[:,0].max()
rx = ax_max - ax_min
ay_min = x[:,1].min()
ay_max = x[:,1].max()
ry = ay_max - ay_min
X,Y = np.meshgrid(
np.linspace(ax_min - 0.2 * rx,ax_max + 0.2 * rx,steps),
np.linspace(ay_min - 0.2 * ry,ay_max + 0.2 * ry,steps),
)
E = np.linalg.norm(
A @ np.array([X.reshape(-1),Y.reshape(-1)]) - b,
axis=0
).reshape(
X.shape
)
plt.figure(figsize=(10,6))
plt.contourf(X,Y,E)
plt.contour(X,Y,E)
plt.plot(x[:,0],x[:,1],'-o')
plt.show()
A = np.array([[1,0.2],[-0.3,2]])
b = np.array([0.6,0.8]).reshape(2,1)
init_x = b / np.diag(A).reshape(2,1)
# Example
solver_visualizer(A,b,gauss_seidel_iteration(A,b,init_x,10)) %/accordion%
参考文献
软件库收集
