清雨影的Blog
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3. 针对复杂几何形状变形体的力学描述(1)

前言

  • 3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设
  • 3.2 指标记法
  • 3.3 关于三大变量及三大方程的思路
这一讲主要是针对复杂形状的弹性体进行建模,这里的例子用的是二维平面,为了单位的合理所以强行加了一个厚度t,在之后的计算中基本都被约掉了。 不考虑三维可以理解,毕竟阐述建模思想就可以了,三维的话光记住所有的应力就够费脑子了。
首先前面的部分主要是回顾和引入,从这里开始:
其实大多数的材料都不完全满足这五个特性。 就比较熟悉的钢铁来说,铸造的物体可能有沙眼气泡,锻造的物体根据锻造的时候的受压情况,并不是各向同性的,焊接的还会有内应力,但是计算机要的就是简化。
然后针对确认不满足这五个情况的其实有一些其他的理论解决,但是这些不在讨论之列。
指标记法主要是对于如何缩写一些求和表达式的约定。 这里有一小半时间都在介绍指标记法和Voigt,看上去写的是简单了,但是约定一大堆,我个人觉得至少不利于我的学习和理解。
建模的思路很简单,老师总结为三大变量(应力、应变、位移),三大方程(力平衡,变形协调,物理(广义胡克定律)),约束。
从顺序上理解的话:
  • (切割)把复杂零件切割为小方块(边界上是小三角块)
  • (应力)针对小方块的受力情况,构建力的平衡方程。
  • (应变)针对变形,施加约束条件,使得变形不能撕裂或者重叠
  • (应力和应变关系)考虑弹性模量和泊松比,构建应力和应变的关系
  • (边界)针对边界,考虑两种情况,力约束和位移约束
    • 位移约束就是控制位移,没毛病
    • 力约束的话针对小三角块构建力的平衡方程

3.4 平面问题的平衡方程构建

平衡方程主要考虑:x方向,y方向,力矩。
物理上理解,如果这个微元受力不平衡,就会产生加速度或者角加速度,最后就是飞起来或者转起来。
做静态分析的时候,这明显是不靠谱的,零件会飞走的,所以应该是合力为0。
分析的时候会有一个问题,按道理说,左右两边(或者上下)的应力应该是相等的,但是并不是,相等意味着导数为0,意味着受力完全均匀分布,这个明显不符合实际情况。
所以我们考虑在这个地方用泰勒展开,然后用一阶项去近似这个增量。
在x方向除了有正应力(的差分),还有剪切应力(的差分),上下面受剪切应力不一样的时候,也会产生x方向的力,但是由于上下面的差分,所以这里对y求偏导。
最后的最后,我们发现
dxdytdxdyt
作为公共项约掉了,最后考虑一下和体积力(重力/电磁力等)平衡即可。 y方向也如法炮制。
最后是剪切应力,思路是类似的,但是结论稍有不同,最后得到
τxy=τyx\tau_{xy}=\tau_{yx}
,这个其实也不难理解,正应力抵消了,又没有“体积扭矩”这种东西,如果剪切应力不一样的话单元直接得转起来了。
最后看一下结论:
结论还是简洁的,一言以蔽之,应力抵消体积力。

3.5 平面问题的几何方程构建

对于x和y来说,应变即位移的偏导数,这个哪怕没有几何图形也可以直观理解。
对于剪切力引起的应变,采用
α+β\alpha + \beta
的方式定义,也就是图里变形以后的尖角和90度的差值。
需要注意的是,这里的角度都是用
tan(α)+tan(β)tan(\alpha) + tan(\beta)
代替的,主要还是因为角度太小了,可以不考虑非线性的tan函数。
这里是几何方程和指标记法,说实话,约定b我觉得牵强了点……
说实话我没法从直观上理解这个方程,只能从数学上理解,如果每一个单元都按照第一章图画的那样变形(矩形变菱形),我们可以从位移推导出三个应变量的公式,但是2个数值映射到3个数值,一定有一个数值是多余的,这个就是切应变(当然也可以是其它的,只不过我觉得切应变孤单好欺负)。
于是可以从数学上,构造出正应变和切应变在二阶偏导数上的关系。

3.6 平面问题的物理方程构建

学材料力学的时候,我们知道除了杨氏(弹性)模量,还有一个泊松比,正泊松比的材料越拉越窄(这个符合常识),负泊松比的材料越拉越宽。
这里就开始把应力和应变串到一起了。
多出来的剪切模量可以用泊松比和弹性模量求出,最后我们就可以求得应力和应变的互换公式(材料需要指定)。
后面指标记法和Voigt规则的部分略。

3.7 两类边界条件

边界是特殊的单元,其实边界有两种,受力(受力为0算特殊的受力)和(位置)固定。
这里用偏导符号表示物体的边界(三维则是封闭曲面),受力约束和位置约束需要不重不漏的覆盖所有边界。
针对三角形的小单元构建力和力矩的平衡方程,需要考虑斜边的方向余弦。
最后得出结论,除了剪应力需要相等以外,剪应力加正应力需要抵消相应方向上的外力。考虑到外力为0其实是挺常见的边界条件,所以这里我们可以看到剪应力和正应力的互相转换。