# 1. 引论

## 有限的单元，无限的能力

基本就是说说有什么用，不过需要吐槽一下，那些视频看上去很炫酷，但是在没学过FEM的人看来就平平无奇，也不知道干什么用的。

## 引论

### 1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学

![](https://3247607006-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M6TU8XK0hd3CZdz_gQ_%2Fuploads%2Fgit-blob-8692b136dcd681f7b3e956f0753284c2cd308f60%2Fvlcsnap-2021-05-03-00h10m55s197.png?alt=media)

以卫星为例子，描述轨道只要简化为质点就可以，使用三个坐标就可以标示，如果描述姿态还需要再加3个坐标，如果考虑电池板等柔性元件就更加复杂。

想起一个大佬说的，做有限元分析，不是考虑加什么东西，而是考虑在不影响结果的情况下，可以从现实世界的模型里减去什么。

下面更加具体的分析：

* 质点力学：初中学过的
* 刚体力学（理论力学）：物体形状不变，但是质量分布不能简化为一个点
* 变形体的力学
  * 简单形状
    * 简单形状，简单组合：材料力学，小变形，形状简单
    * 简单形状，复杂组合：结构力学，各种复杂桁架的受理分析（土木应该会经常用吧）
    * 复杂形状：弹塑性力学，需要使用微元法分析了，预感这是这门课解决的问题，未必能用解析法解析了。

### 1.2 变形体力学的要点

变形体力学的要点，曾老师设计了三个同种材料单拉实验，三个实验的受力-位移曲线都不一样，引导出描述材料中的不变量：弹性模量E的定义：

$$E = \frac{\sigma}{\epsilon}$$

其中：

* $$\sigma = F/A$$
* $$\epsilon=u/L$$
* F 为试样受拉力
* A 为试样横截面积
* u 为受拉力F以后，试样的形变量
* L 为试样长度

### 1.3 微分方程求解的方法

![](https://3247607006-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M6TU8XK0hd3CZdz_gQ_%2Fuploads%2Fgit-blob-e7ac81df4c52460352484d7317f73dcf4699e701%2Fvlcsnap-2021-05-03-00h31m08s058.png?alt=media)

这是我踩的第一个坑，我想了10分钟才明白为什么是u的二阶导数。这里并不是位移-速度-加速度。 首先视频里说“长度上受到均布载荷P”，我里所应当的认为P是压强，应变也就是F/A，其实不是。

我们如果在自由端施加F的拉力，的确小杆子内部的应变处处相等，但是这样的简单载荷是不需要微分方程求解的，所以给定了一个复杂的情况，这里的P的单位其实是N/m，杆子内部的受力不均匀，是一个从左到右逐渐加码的载荷。

所以，应变的大小其实是 $$\epsilon(x) = \frac{du}{dx}$$，那么应力就是 $$\sigma(x) = E \epsilon(x)$$，截面受力 $$F(x) = EA \epsilon(x)$$ 考虑到P是均匀加负荷，所以F的导数等于P，也就是力从0开始逐渐变大到LP（从右到左看的话）。

最后我们得到：

* $$\frac{dF(x)}{dx}=-p$$
* 整理一下：$$\frac{d\frac{du}{dx}EA}{dx}+p=0$$
* 再整理一下： $$\frac{d^2u}{dx^2}+\frac{p}{EA}=0$$

得到方程以后的事情就比较顺理成章了，这个微分方程但凡学过高数都会解，唯一的问题是，两次积分会产生两个常数项，第一次产生常数项的时候，要用第二个约束条件带入得到 $$C\_1=\frac{PL}{AE}$$，第二个常数项要用第一个约束条件带入得到 $$C\_2=0$$

接下来讲了两个近似方法，第一个是差分，其实就是折线法（记忆模糊了，应该没错）求解微分方程近似解，说到这个我就兴奋了，除此之外，其实还有龙格库塔之类的一票方法。

老师又说了一个试函数法，看到待定系数和残差方程我就更加兴奋了，你这个是要搞最优化？要不要来个万能函数搞机器学习？

![](https://3247607006-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M6TU8XK0hd3CZdz_gQ_%2Fuploads%2Fgit-blob-f6823730273de0420c84d02ba2ad6b16076fe19d%2F%E4%BD%A0%E8%81%8A%E8%BF%99%E4%B8%AA%E6%88%91%E5%8F%AF%E4%B8%8D%E5%9B%B0%E4%BA%86.gif?alt=media)

但是下面的步骤开始匪夷所思：

![](https://3247607006-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M6TU8XK0hd3CZdz_gQ_%2Fuploads%2Fgit-blob-92892391718582298f133556d8fe3ece82400d0b%2Fvlcsnap-2021-05-03-01h13m21s880.png?alt=media)

一般这种用一个（组）函数的线性和逼近另一个函数，一般考虑最小二乘法，这里把一个函数和另一个函数乘起来积分等于零（而且还不要求试函数组正交！！）求系数的我还没见过。

经过了解，这个方法叫Galerkin（伽辽金）加权残值法（[Wiki 伽辽金法](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%BD%E8%BE%BD%E9%87%91%E6%B3%95)），简单的说，就是用试函数的基函数作为权重函数，就能取得系数。

![](https://3247607006-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M6TU8XK0hd3CZdz_gQ_%2Fuploads%2Fgit-blob-3a347267103d227342e568842ccb574eedf93808%2F2021-05-03-01-15-32.png?alt=media)

我参考了[这个文章](https://zhuanlan.zhihu.com/p/33216023)，但是他也没有细说原理，这个应该不重要，如果以后需要再来补充吧。

### 1.4 关于函数逼近的方式

除了试函数法，还可将函数分成多个小片，逐片拟合。

### 1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近

主要就是遇到形状复杂的形状，只能采用分块的方式来做。试函数在这里基本就是废物……

### 1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近

这里开始涉及到有限元的核心，单元分割，这里举了各种各样的单元，但是实际上不止老师列举的单元，有一个[FEMTable](http://www-users.math.umn.edu/~arnold/femtable/)的网站专门记录了应该是所有的有限单元的形式。

### 1.7 有限元发展的历史和软件

略，不过视频出现了一个梗，老师举例了几位FEM的开创者都很长寿，得出了研究有限元可以长寿的结论。 但是曾老师自己享年56岁……老师你为什么要乱立Flag啊哭……