清雨影的Blog
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1. 引论

有限的单元,无限的能力

基本就是说说有什么用,不过需要吐槽一下,那些视频看上去很炫酷,但是在没学过FEM的人看来就平平无奇,也不知道干什么用的。

引论

1.1 力学的分类:质点、刚体、变形体的力学

以卫星为例子,描述轨道只要简化为质点就可以,使用三个坐标就可以标示,如果描述姿态还需要再加3个坐标,如果考虑电池板等柔性元件就更加复杂。
想起一个大佬说的,做有限元分析,不是考虑加什么东西,而是考虑在不影响结果的情况下,可以从现实世界的模型里减去什么。
下面更加具体的分析:
  • 质点力学:初中学过的
  • 刚体力学(理论力学):物体形状不变,但是质量分布不能简化为一个点
  • 变形体的力学
    • 简单形状
      • 简单形状,简单组合:材料力学,小变形,形状简单
      • 简单形状,复杂组合:结构力学,各种复杂桁架的受理分析(土木应该会经常用吧)
      • 复杂形状:弹塑性力学,需要使用微元法分析了,预感这是这门课解决的问题,未必能用解析法解析了。

1.2 变形体力学的要点

变形体力学的要点,曾老师设计了三个同种材料单拉实验,三个实验的受力-位移曲线都不一样,引导出描述材料中的不变量:弹性模量E的定义:
E=σϵE = \frac{\sigma}{\epsilon}
其中:
  • σ=F/A\sigma = F/A
  • ϵ=u/L\epsilon=u/L
  • F 为试样受拉力
  • A 为试样横截面积
  • u 为受拉力F以后,试样的形变量
  • L 为试样长度

1.3 微分方程求解的方法

这是我踩的第一个坑,我想了10分钟才明白为什么是u的二阶导数。这里并不是位移-速度-加速度。 首先视频里说“长度上受到均布载荷P”,我里所应当的认为P是压强,应变也就是F/A,其实不是。
我们如果在自由端施加F的拉力,的确小杆子内部的应变处处相等,但是这样的简单载荷是不需要微分方程求解的,所以给定了一个复杂的情况,这里的P的单位其实是N/m,杆子内部的受力不均匀,是一个从左到右逐渐加码的载荷。
所以,应变的大小其实是
ϵ(x)=dudx\epsilon(x) = \frac{du}{dx}
,那么应力就是
σ(x)=Eϵ(x)\sigma(x) = E \epsilon(x)
,截面受力
F(x)=EAϵ(x)F(x) = EA \epsilon(x)
考虑到P是均匀加负荷,所以F的导数等于P,也就是力从0开始逐渐变大到LP(从右到左看的话)。
最后我们得到:
  • dF(x)dx=p\frac{dF(x)}{dx}=-p
  • 整理一下:
    ddudxEAdx+p=0\frac{d\frac{du}{dx}EA}{dx}+p=0
  • 再整理一下:
    d2udx2+pEA=0\frac{d^2u}{dx^2}+\frac{p}{EA}=0
得到方程以后的事情就比较顺理成章了,这个微分方程但凡学过高数都会解,唯一的问题是,两次积分会产生两个常数项,第一次产生常数项的时候,要用第二个约束条件带入得到
C1=PLAEC_1=\frac{PL}{AE}
,第二个常数项要用第一个约束条件带入得到
C2=0C_2=0
接下来讲了两个近似方法,第一个是差分,其实就是折线法(记忆模糊了,应该没错)求解微分方程近似解,说到这个我就兴奋了,除此之外,其实还有龙格库塔之类的一票方法。
老师又说了一个试函数法,看到待定系数和残差方程我就更加兴奋了,你这个是要搞最优化?要不要来个万能函数搞机器学习?
但是下面的步骤开始匪夷所思:
一般这种用一个(组)函数的线性和逼近另一个函数,一般考虑最小二乘法,这里把一个函数和另一个函数乘起来积分等于零(而且还不要求试函数组正交!!)求系数的我还没见过。
经过了解,这个方法叫Galerkin(伽辽金)加权残值法(Wiki 伽辽金法),简单的说,就是用试函数的基函数作为权重函数,就能取得系数。
我参考了这个文章,但是他也没有细说原理,这个应该不重要,如果以后需要再来补充吧。

1.4 关于函数逼近的方式

除了试函数法,还可将函数分成多个小片,逐片拟合。

1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近

主要就是遇到形状复杂的形状,只能采用分块的方式来做。试函数在这里基本就是废物……

1.6 有限元的核心:针对复杂几何域的分片函数逼近

这里开始涉及到有限元的核心,单元分割,这里举了各种各样的单元,但是实际上不止老师列举的单元,有一个FEMTable的网站专门记录了应该是所有的有限单元的形式。

1.7 有限元发展的历史和软件

略,不过视频出现了一个梗,老师举例了几位FEM的开创者都很长寿,得出了研究有限元可以长寿的结论。 但是曾老师自己享年56岁……老师你为什么要乱立Flag啊哭……
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