清雨影的Blog
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2. 基于直接刚度法的杆系有限元方法

2.1 弹簧的力学分析原理

首先是大家都知道的胡克定律:
F=kδF=k\delta
。 但是这里引入了一个新的概念:刚度方程/矩阵。
乍一看是画蛇添足之举,实则另有用处,这么处理之后的单元规范了,就可以和其他杆件连接了。
下一步分析两个弹簧的连接+存在一个外力
F2F_2
作用在节点2上的实例:
建模过程视频很详细,略了,大致思路是:
F2F_2
给右边的弹簧,弹簧内力设置为
FI2F_{I_2}
,左右相互抵消,这个
FI2F_{I_2}
将来要在方程组中约去。
这里扩充矩阵,使其标准化为3✖3的矩阵,方便相加,这里取了一个巧,正常我们有两个方程组,例如:
A1x=b1A_1x=b_1
A2x=b2A_2x=b_2
,要揉成一个,一般会取两个系数,比如
α1\alpha_1
α2\alpha_2
,加上系数以后相加:
(α1A1+α2A2)x=(α1b1+α2b2)(\alpha_1A_1 + \alpha_2A_2)x=(\alpha_1b_1 + \alpha_2b_2)
然后调整这些系数保证
FI2F_{I_2}
约去,视频里直接让两个方程组b的第二项的内力互为相反数,这样直接加起来就约掉了。
最后考虑
u1u_1
u3u_3
都是0(约束条件),所以得到u2的计算公式:

2.2 弹簧单元与杆单元的比较

杆单元和弹簧一样,都是线性元件,所以计算方式也是一样的。考虑弹性模量为E,长度为l,截面面积A的杆,等效于
k=EAlk = \frac{EA}{l}
的弹簧。
Q.E.D.

2.3 杆单元的坐标变换

之前的杆单元的位移u都是沿着杆的方向定义的,但是这个时候如果出现斜拉的杆件,计算就会显得有点复杂。
2.3节的主要思想,就是统一坐标系,全部分解到x-y或者x-y-z坐标系,这样刚度矩阵加起来就更加的流畅。
这一切,都会导致计算量大幅上升,但是这是值得的,因为带来的好处就是计算更加规范了,这样就利于编程实现,反正最后受苦的是CPU/GPU又不是我。
这里就很清晰的展示了坐标变换的方式,虽然2个坐标变4个了,但是考虑小变形问题的话,
α\alpha
是基本不会变化的,计算中省略其变化,所以秩其实还是2。
这里我们进行矩阵化,我们用矩阵T联系了变化前和变化后的坐标。
我们也需要对刚度矩阵进行同等的变换才可以让刚度阵(其实还有F向量)适应新的坐标,直接思考刚度阵的变化是很费脑细胞的,所以这里使用(线性)代数进行等效变换,我们得到了新的刚度矩阵,过程如下:
  • 首先把坐标
    qe\bold{q}^e
    替换成
    Teqe\bold{T}^e\bold{\overline{q}}^e
  • 两边左侧乘以矩阵
    TeT\bold{T}^{eT}
    • 其实根据线性代数的理论这里其实乘什么都行,但是由于要对力F也进行坐标变换才乘以的这个矩阵。
    • 只有用
      TeT\bold{T}^{eT}
      ,右侧的式子才有物理意义了,代表的是力。
  • 最后根据线性代数的结合律,我们把
    TeTKeTe\bold{T}^{eT}\bold{K}^e\bold{T}^e
    捆绑一下,就得到了新的刚度矩阵。
老师还列举了三维的形式,三维的刚度矩阵写出来可能一张PPT就满了(6x6),所以就略了。

2.4 一个四杆结构的实例分析

以上是今天要分析的问题,四个线性元件组成的桁架结构的受力分析。第一件事情其实是体力活儿,列出所有杆和节点的信息:
杆子
节点
l
nxn_x
nyn_y
1
{1,2}
400
1
0
2
{3,2}
300
0
-1
3
{1,3}
500
0.8
0.6
4
{4,3}
400
1
0
节点
x
y
1
0
0
2
400
0
3
400
300
4
0
300
随后就是看着图片和表格填刚度矩阵,这个活太细碎了……
曾老师是先填写了一个个小的矩阵,然后扩充填0以后相加,不过我觉得直接填写应该也OK。
这里的支反力是因为有了约束条件,当你约束一个坐标的时候,坐标是已知了,但相应的你就产生一个未知的力。
这就是刚度矩阵,好特么大……(对于人类而言),其中的
Fx2F_x2
Fx3F_x3
Fy3F_y3
都是刚才已知的力。
考虑到
u1u_1
v1v_1
v2v_2
u4u_4
v4v_4
全都是0,所以未知数只有3个,而且
u2u_2
直接就可以肉眼算出,最后只剩下一个二元线性方程组。
节点位移求出以后,支反力也就知道了,这个是很自然的,因为位移知道以后,拉伸量也就知道了。

2.5 四杆结构的ANSYS实例分析

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