2. 基于直接刚度法的杆系有限元方法

2.1 弹簧的力学分析原理

首先是大家都知道的胡克定律： $F=k\delta$ 。但是这里引入了一个新的概念：刚度方程/矩阵。

乍一看是画蛇添足之举，实则另有用处，这么处理之后的单元规范了，就可以和其他杆件连接了。

下一步分析两个弹簧的连接+存在一个外力 $F_2$ 作用在节点2上的实例：

建模过程视频很详细，略了，大致思路是： $F_2$ 给右边的弹簧，弹簧内力设置为 $F_{I_2}$ ，左右相互抵消，这个 $F_{I_2}$ 将来要在方程组中约去。

这里扩充矩阵，使其标准化为3✖3的矩阵，方便相加，这里取了一个巧，正常我们有两个方程组，例如： $A_1x=b_1$ 和 $A_2x=b_2$ ，要揉成一个，一般会取两个系数，比如 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ ，加上系数以后相加：

$(\alpha_1A_1 + \alpha_2A_2)x=(\alpha_1b_1 + \alpha_2b_2)$

然后调整这些系数保证 $F_{I_2}$ 约去，视频里直接让两个方程组b的第二项的内力互为相反数，这样直接加起来就约掉了。

最后考虑 $u_1$ 和 $u_3$ 都是0（约束条件），所以得到u2的计算公式：

杆单元和弹簧一样，都是线性元件，所以计算方式也是一样的。考虑弹性模量为E，长度为l，截面面积A的杆，等效于 $k = \frac{EA}{l}$ 的弹簧。

Q.E.D.

之前的杆单元的位移u都是沿着杆的方向定义的，但是这个时候如果出现斜拉的杆件，计算就会显得有点复杂。

2.3节的主要思想，就是统一坐标系，全部分解到x-y或者x-y-z坐标系，这样刚度矩阵加起来就更加的流畅。

这一切，都会导致计算量大幅上升，但是这是值得的，因为带来的好处就是计算更加规范了，这样就利于编程实现，反正最后受苦的是CPU/GPU又不是我。

这里就很清晰的展示了坐标变换的方式，虽然2个坐标变4个了，但是考虑小变形问题的话， $\alpha$ 是基本不会变化的，计算中省略其变化，所以秩其实还是2。

这里我们进行矩阵化，我们用矩阵T联系了变化前和变化后的坐标。

我们也需要对刚度矩阵进行同等的变换才可以让刚度阵（其实还有F向量）适应新的坐标，直接思考刚度阵的变化是很费脑细胞的，所以这里使用（线性）代数进行等效变换，我们得到了新的刚度矩阵，过程如下：

首先把坐标 $\bold{q}^e$ 替换成 $\bold{T}^e\bold{\overline{q}}^e$
两边左侧乘以矩阵 $\bold{T}^{eT}$ 。
- 其实根据线性代数的理论这里其实乘什么都行，但是由于要对力F也进行坐标变换才乘以的这个矩阵。
- 只有用 $\bold{T}^{eT}$ ，右侧的式子才有物理意义了，代表的是力。
最后根据线性代数的结合律，我们把 $\bold{T}^{eT}\bold{K}^e\bold{T}^e$ 捆绑一下，就得到了新的刚度矩阵。